Три фигуры одним росчерком: задачи, ответы и лист для печати
Получится обвести каждую фигуру, не отрывая карандаш и не проходя по одной линии дважды? Две получится, а одну — нет. Найди маршрут или объясни, почему его не существует.
Правила
Возьми бумагу и карандаш, веди пальцем по рисунку или запиши маршрут буквами. Можно решать самостоятельно или сравнить маршруты с другом. На странице обычные изображения: они не записывают движения пальца.
- Двигайся только по нарисованным линиям и пройди каждую ровно один раз. Линия соединяет две точки с буквами.
- Возвращаться в одну точку можно. Повторно проходить по линии нельзя, даже в обратную сторону.
- Начальную точку выбираешь самостоятельно; подходящее начало ещё нужно найти. Поворачивать можно в точках. Пересечений без точек здесь нет.
- Для каждой фигуры запиши полный маршрут или объясни, почему обвести её одним росчерком невозможно.
Скачать задачи и ответы (PDF, 2 страницы A4)
На первой странице задания, на второй — маршруты и объяснения. При печати выбери «Вписать». Можно печатать и пересылать целый файл без изменений. Все задания и ответы есть и на этой странице.
1. Короткая дорога
У шестиугольного контура есть прямая дорога через середину. Выбери начало так, чтобы пройти все семь линий.
Текстовая версия: линии AB, BC, CD, DE, EF, FA и AD. AB и BA обозначают одну и ту же линию.
2. Два уголка
У этого контура восемь линий, в том числе две диагонали. Получится пройти все восемь, не отрывая карандаш? Убедительное объяснение невозможности тоже считается решением.
Текстовая версия: линии AB, BC, CD, DE, EF, FA, AC и DF.
3. Место встречи
Два треугольника встречаются в точке C. Пройди все шесть линий и вернись в начало. Через C можно проходить несколько раз.
Текстовая версия: линии AB, BC, CA, CD, DE и EC.
Подсказка перед ответами
Посчитай, сколько линий сходится в каждой точке. Получится каждому входу в точку подобрать выход? В начале и в конце маршрута может остаться по одной линии без пары. Это поможет выбрать, откуда начать.
Ответы: маршруты и объяснение
1. Один маршрут: A → B → C → D → E → F → A → D. Все семь линий пройдены ровно по разу. В A и D сходится по три линии, в остальных точках — по две. Нужно начать в A и закончить в D либо наоборот.
2. Маршрута одним росчерком нет. В A, C, D и F сходится по три линии; в B и E — по две. Четырём точкам нужен вход или выход без пары, а у одного росчерка всего два конца. Другое начало это не исправит.
3. Один маршрут: A → B → C → D → E → C → A. Пройдены все шесть линий, и карандаш вернулся в A. В C сходится четыре линии, в остальных точках — по две. Возможны и другие маршруты с другим началом.
Быстрая проверка
Для связной фигуры с линиями без заданного направления посчитай точки, в которых сходится нечётное число линий. Если таких точек нет, существует маршрут с возвращением в начало. Если их ровно две, существует маршрут между ними. Если их больше двух, один росчерк невозможен.
Связность обязательна: из любой точки нужно суметь добраться в любую другую по линиям фигуры. У двух отдельных треугольников все числа чётные, но обвести оба одним росчерком нельзя.
Это правило эйлерова пути. Считай линии, а не посещения точек: в одну точку разрешено возвращаться. Правило говорит, существует ли маршрут, но неудачный поворот всё равно может оставить часть линий непройденной.
Измени одну линию
В задаче 2 сотри AC. Теперь в A и C сходится по две линии, а в D и F осталось по три. Найдёшь маршрут из D в F?
Один ответ: D → C → B → A → F → E → D → F. Сверь его с семью оставшимися линиями и вычёркивай каждую пройденную.
Попробуй нарисовать свою связную фигуру. Прежде чем предложить её кому-нибудь, посчитай нечётные точки и проверь полный маршрут. Если он невозможен, предложи объяснить почему.
Об этих задачах
Coru подготовила расположение точек, последовательность заданий и листы для печати. Задачи на один росчерк и математическое правило давно известны. Мы проверили указанные решения и перебрали все возможные маршруты без повторения линий для этих трёх фигур. Это не означает, что сами графы никогда не встречались раньше.