El cuadrado perdido: ¿de dónde sale el hueco?
Cuatro piezas forman la figura A. Coloca las mismas piezas en B y aparece un hueco cuadrado. No se ha recortado nada. Antes de buscar una pieza perdida, piensa qué otra cosa podría haber cambiado.
Las mismas piezas. Un cuadrado vacío.
Las dos composiciones usan exactamente las mismas cuatro piezas. R y T son triángulos; G y V tienen forma escalonada. Las letras permiten seguir cada pieza sin depender del color. Cada casilla de la cuadrícula equivale a una unidad cuadrada.
A no tiene huecos. B tiene un hueco de una casilla. Ambas figuras miden 13 unidades de ancho y 5 de alto. Mira el borde inclinado largo antes de pasar a la explicación.
Haz una predicción
Elige una posible explicación o sigue leyendo hasta la respuesta completa. La lista de respuestas también está disponible sin JavaScript.
Respuestas y explicaciones
- Una pieza se ha hecho más pequeña: Los vértices y las dimensiones de cada pieza siguen iguales. Prueba a seguir su letra de A a B.
- El contorno exterior encierra más área: Sí. El borde inclinado largo cambia un poco, así que B encierra más área.
- El mismo triángulo puede tener dos áreas distintas: Un triángulo fijo tiene una sola área. Comprueba la suposición de que alguno de los contornos grandes sea un triángulo.
La clave: el borde largo se quiebra
Ninguno de los dos contornos grandes es un triángulo. Cada uno tiene cuatro lados: la supuesta diagonal larga está formada por dos segmentos con pendientes ligeramente distintas. En A, la unión se desvía hacia dentro; en B, hacia fuera. El cambio es tan pequeño que puede quedar oculto bajo un trazo grueso de lápiz.
El triángulo rojo R sube 3 unidades al avanzar 8: su pendiente es 3/8 = 0,375. El triángulo turquesa T sube 2 al avanzar 5: su pendiente es 2/5 = 0,4. Para que sus lados inclinados formen una sola recta, las pendientes tendrían que coincidir. No coinciden.
El área estaba escondida junto al borde
Las piezas ocupan 12 + 5 + 8 + 7 = 32 unidades cuadradas en las dos composiciones. El contorno A encierra 32. El contorno B encierra 33: las piezas ocupan 32 y el hueco ocupa 1.
Superpón solo los contornos exteriores, alineando el borde inferior y el derecho. La franja estrecha entre los bordes inclinados tiene un área exacta de 1. Ese es el espacio adicional que encierra B. Equivale al área del hueco; ninguna pieza ha perdido material.
Un triángulo rectángulo de verdad, con base 13 y altura 5, tendría un área de 13 × 5 ÷ 2 = 32,5. Ese valor corresponde al triángulo de referencia con el lado recto, no a ninguno de los contornos quebrados. A ocupa media unidad cuadrada menos que ese triángulo; B, media unidad cuadrada más.
Compruébalo con papel y una regla
Imprime la plantilla de abajo. Recorta solo R, T, G y V por sus contornos exteriores; las líneas de la cuadrícula sirven de guía, no son cortes. Mantén las cuatro piezas a la misma escala. Usa los dos contornos de referencia para montar A y B, sin doblar ni superponer las piezas.
Coloca una regla entre la punta izquierda y la esquina superior derecha de cada figura montada. Fíjate en la unión de R y T. No fuerces las piezas para conseguir un borde recto: estarías cambiando la composición que quieres comprobar.
El grosor del papel, los trazos anchos y pequeños errores al recortar pueden ocultar el quiebro. Si el resultado físico no está claro, compara las dimensiones indicadas: 3/8 y 2/5 son diferentes por convincente que parezca el dibujo.
Imprimir la plantilla del cuadrado perdido
Dos páginas A4: cuatro piezas separadas y dos guías de montaje. Imprime las dos páginas a la misma escala. Al 100%, cada unidad mide 10 mm; comprueba la línea de calibración de 50 mm.
Una comprobación exacta
Toma la punta inferior izquierda como (0,0). El lado derecho va de (13,0) a (13,5). En A, el borde inclinado pasa por (8,3); en B, por (5,2). La recta que une (0,0) con (13,5) pasaría por (8,40/13) y (5,25/13). Cada unión se aparta verticalmente de esa recta 1/13 de unidad de cuadrícula, hacia lados opuestos.
Estas pequeñas desviaciones explican por qué la ilusión resiste una mirada rápida. El hábito útil consiste en comprobar la propiedad que el dibujo parece prometer. «Parece un triángulo» era la suposición oculta; «tiene un borde inclinado recto» es la prueba.
Un reto para compartir
Este es el clásico problema del cuadrado perdido, no una invención de Coru. Los diagramas, la plantilla recortable y esta explicación se han creado para el artículo. HBCSE/TIFR también presenta el problema para comparar las pendientes.
Si lo pruebas con otra persona, pídele su explicación antes de enseñarle la prueba de la regla. ¿Qué le hizo cambiar de idea: las pendientes distintas, el modelo de papel o el cálculo del área? Puedes contárnoslo en el formulario de comentarios de abajo.